Para encontrar o coeficiente do termo contendo x³y⁴ na expansão binomial de (2x + 3y)⁷, precisamos usar o teorema binomial. A fórmula geral para o termo k-ésimo na expansão de (a + b)ⁿ é dada por:C(n, k) a^(n-k) b^kOnde C(n, k) é o coeficiente binomial, que é calculado como:C(n, k) = n! / (k! (n-k)!)Neste caso, queremos o termo que contém x³y⁴. Isso significa que precisamos do termo onde a potência de x é 3 e a potência de y é 4. Portanto, n = 7, a = 2x, b = 3y, e k = 4.Primeiro, calculamos o coeficiente binomial C(7, 4):C(7, 4) = 7! / (4! (7-4)!) = 7! / (4! 3!) = (7 6 5) / (3 2 1) = 35Agora, substituímos os valores na fórmula do termo k-ésimo:Tk = C(7, 4) (2x)^(7-4) (3y)^4Tk = 35 (2x)^3 (3y)^4Calculamos as potências:(2x)^3 = 2^3 x^3 = 8x³(3y)^4 = 3^4 y^4 = 81y⁴Substituímos de volta na fórmula:Tk = 35 8x³ 81y⁴Tk = 35 8 81 x³y⁴Tk = 22680 x³y⁴Portanto, o coeficiente do termo contendo x³y⁴ na expansão binomial de (2x + 3y)⁷ é 22680.
Para encontrar o coeficiente do termo contendo x³y⁴ na expansão binomial de (2x + 3y)⁷, precisamos usar o teorema binomial. A fórmula geral para o termo k-ésimo na expansão de (a + b)ⁿ é dada por:
C(n, k) a^(n-k) b^k
Onde C(n, k) é o coeficiente binomial, que é calculado como:
C(n, k) = n! / (k! (n-k)!)
Neste caso, queremos o termo que contém x³y⁴. Isso significa que precisamos do termo onde a potência de x é 3 e a potência de y é 4. Portanto, n = 7, a = 2x, b = 3y, e k = 4.
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial C(7, 4):
C(7, 4) = 7! / (4! (7-4)!) = 7! / (4! 3!) = (7 6 5) / (3 2 1) = 35
Agora, substituímos os valores na fórmula do termo k-ésimo:
Tk = C(7, 4) (2x)^(7-4) (3y)^4
Tk = 35 (2x)^3 (3y)^4
Calculamos as potências:
(2x)^3 = 2^3 x^3 = 8x³
(3y)^4 = 3^4 y^4 = 81y⁴
Substituímos de volta na fórmula:
Tk = 35 8x³ 81y⁴
Tk = 35 8 81 x³y⁴
Tk = 22680 x³y⁴
Portanto, o coeficiente do termo contendo x³y⁴ na expansão binomial de (2x + 3y)⁷ é 22680.
